Công Thức Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Có phải bạn đang tìm kiếm chủ đề về => Công Thức Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng phải ko? Nếu đúng tương tự thì mời bạn xem nó ngay tại đây. Xem thêm các bài viết hay khác tại đây => Tin Tức

Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong ko gian Oxyz, ta có hai cách. 1 cách các bạn học trong hình học ko gian lớp 11 và 1 cách các bạn học trong hình học ko gian tọa độ lớp 12. Tùy vào dữ kiện bài toán cho trước nhưng ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết 2 cách và bài tập minh họa với lời giải cụ thể.

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bạn đang xem: công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong ko gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Khái niệm

Gọi a ‘là hình chiếu của a vào mặt phẳng (Q), góc φ tạo bởi hai đường thẳng a và a’ là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

  • Nếu a ⊥ (Q) thì $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ = 900.
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong 11. hình học

Để xác định góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a, ta thực hiện như sau:

  • Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
  • Bước 2: Dựng hình chiếu A ‘của điểm A ∈ a xuống (Q)
  • Bước 3: Angle (widehat {AOA ‘} = varphi) là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A ‘của điểm A trên (Q) ta chọn đường thẳng b ⊥ (Q) thì AA’ // b.

Để tính góc ta sử dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông OAA ‘

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Tham Khảo: Sắm Bán Bắc Kinh thuần chủng, Đẹp Lai, Mini, Giá Rẻ Trên Toàn Quốc

Công thức: $ sinvarphi = sin left ({widehat {a, (Q)}} right) = left | {cos left ({overrightarrow n; overrightarrow u} right)} phải | = frac { left | {vec u.vec n} right |}} {{left | {vec u} phải | trái | {vec n} ngay |}} $

Trong đó:

  • $ {overrightarrow n} $ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • $ {overrightarrow u} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu VTPT của (Q): $ {overrightarrow n} $ = (A; B; C) và VTCP của a: $ {overrightarrow u} $ = (a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

[sinvarphi = frac{{left| {A.a + B.b + C.c} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)]

B. Bài tập có lời giải cụ thể

Bài tập 1. Cho dòng a: $ frac {{x + 1}} {{- 3}} = frac {{y + 5}} {1} = frac {{z – 1}} {2} $ và mặt phẳng (Q ): x – 2y + z + 4 = 0. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 3; 1; 2)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$ sinvarphi = frac {{left | {1.left ({- 3} right) + left ({- 2} right) .1 + 1.2} right |}} {{sqrt {{1 ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}} .sqrt {{{left ({- 3} right)} ^ 2} + {1 ^ 2} + {2 ^ 2}}}} = frac {{sqrt {21} }} {{14}} đô la Mỹ

Kết luận: φ ≈ 190.

Xem thêm: Ngứa mũi thường xuyên: Điềm báo may mắn hay bệnh tật?

Bài tập 2. Trong ko gian Oxyz có dòng d: $ left {{begin {array} {* {20} {l}} {x = 2 – t} {y = 1 – 2t} {z = – 3 + t} end {array}} right. $ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) là 300.

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 1; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; – 2)

Vận dụng công thức

:

$ sinvarphi = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- 1} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) 1} phải)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} = frac {1} {2} $

Kết luận: φ = 300.Bài tập 3

. Trong ko gian Oxyz, tồn tại đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình của đường thẳng d: $ left {begin {array} {l} x = 2 – mt y = 1 – 2t z = – 3 + t end {array} right. $ Và phương trình mặt phẳng (Q) : – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải pháp

  • Theo chủ đề:
  • dòng a có vectơ chỉ phương: $ {overrightarrow u} $ = (- m; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; – 2)

$ widehat {a, (Q)} = {30 ^ 0} $ $ Rightarrow sin left ({widehat {a, (Q)}} right) $$ = sin left ({{{30} ^ 0}} right) = phân số {1} {2} $

Vận dụng công thức[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$

:

$ frac {1} {2} = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- m} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) m} right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} $ $ Leftrightarrow frac {1} {2} = frac {{left | {m – 4} right |}} {{sqrt 6 .sqrt {{m ^ 2} + 5}}} Mũi tên phải sang trái[begin {array} {l} m = 1 m = – 17 end {array} right. $ Đọc thêm: cung Bảo Bình hợp với cung nào | Hỏi gì?


Thông tin thêm

Công Thức Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong ko gian Oxyz, ta có hai cách. 1 cách các bạn học trong hình học ko gian lớp 11 và 1 cách các bạn học trong hình học ko gian tọa độ lớp 12. Tùy vào dữ kiện bài toán cho trước nhưng ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết 2 cách và bài tập minh họa với lời giải cụ thể.

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bạn đang xem: công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong ko gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Khái niệm

Gọi a 'là hình chiếu của a vào mặt phẳng (Q), góc φ tạo bởi hai đường thẳng a và a' là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

  • Nếu a ⊥ (Q) thì $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ = 900.
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong 11. hình học

Để xác định góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a, ta thực hiện như sau:

  • Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
  • Bước 2: Dựng hình chiếu A 'của điểm A ∈ a xuống (Q)
  • Bước 3: Angle (widehat {AOA '} = varphi) là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A 'của điểm A trên (Q) ta chọn đường thẳng b ⊥ (Q) thì AA' // b.

Để tính góc ta sử dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông OAA '

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Tham Khảo: Sắm Bán Bắc Kinh thuần chủng, Đẹp Lai, Mini, Giá Rẻ Trên Toàn Quốc

Công thức: $ sinvarphi = sin left ({widehat {a, (Q)}} right) = left | {cos left ({overrightarrow n; overrightarrow u} right)} phải | = frac { left | {vec u.vec n} right |}} {{left | {vec u} phải | trái | {vec n} ngay |}} $

Trong đó:

  • $ {overrightarrow n} $ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • $ {overrightarrow u} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu VTPT của (Q): $ {overrightarrow n} $ = (A; B; C) và VTCP của a: $ {overrightarrow u} $ = (a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

[sinvarphi = frac{{left| {A.a + B.b + C.c} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)]

B. Bài tập có lời giải cụ thể

Bài tập 1. Cho dòng a: $ frac {{x + 1}} {{- 3}} = frac {{y + 5}} {1} = frac {{z - 1}} {2} $ và mặt phẳng (Q ): x - 2y + z + 4 = 0. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 3; 1; 2)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (1; - 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$ sinvarphi = frac {{left | {1.left ({- 3} right) + left ({- 2} right) .1 + 1.2} right |}} {{sqrt {{1 ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}} .sqrt {{{left ({- 3} right)} ^ 2} + {1 ^ 2} + {2 ^ 2}}}} = frac {{sqrt {21} }} {{14}} đô la Mỹ

Kết luận: φ ≈ 190.

Xem thêm: Ngứa mũi thường xuyên: Điềm báo may mắn hay bệnh tật?

Bài tập 2. Trong ko gian Oxyz có dòng d: $ left {{begin {array} {* {20} {l}} {x = 2 - t} {y = 1 - 2t} {z = - 3 + t} end {array}} right. $ và mặt phẳng (Q): - x + y - 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) là 300.

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 1; - 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; - 2)

Vận dụng công thức

:

$ sinvarphi = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- 1} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) 1} phải)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} = frac {1} {2} $

Kết luận: φ = 300.Bài tập 3

. Trong ko gian Oxyz, tồn tại đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình của đường thẳng d: $ left {begin {array} {l} x = 2 - mt y = 1 - 2t z = - 3 + t end {array} right. $ Và phương trình mặt phẳng (Q) : - x + y - 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải pháp

  • Theo chủ đề:
  • dòng a có vectơ chỉ phương: $ {overrightarrow u} $ = (- m; - 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; - 2)

$ widehat {a, (Q)} = {30 ^ 0} $ $ Rightarrow sin left ({widehat {a, (Q)}} right) $$ = sin left ({{{30} ^ 0}} right) = phân số {1} {2} $

Vận dụng công thức[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$

:

$ frac {1} {2} = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- m} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) m} right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} $ $ Leftrightarrow frac {1} {2} = frac {{left | {m - 4} right |}} {{sqrt 6 .sqrt {{m ^ 2} + 5}}} Mũi tên phải sang trái[begin {array} {l} m = 1 m = - 17 end {array} right. $ Đọc thêm: cung Bảo Bình hợp với cung nào | Hỏi gì?

Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong ko gian Oxyz, ta có hai cách. 1 cách các bạn học trong hình học ko gian lớp 11 và 1 cách các bạn học trong hình học ko gian tọa độ lớp 12. Tùy vào dữ kiện bài toán cho trước nhưng ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết 2 cách và bài tập minh họa với lời giải cụ thể.

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bạn đang xem: công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong ko gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Khái niệm

Gọi a ‘là hình chiếu của a vào mặt phẳng (Q), góc φ tạo bởi hai đường thẳng a và a’ là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

  • Nếu a ⊥ (Q) thì $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ = 900.
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $ widehat {left ({a, left (Q right)} right)} $ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong 11. hình học

Để xác định góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a, ta thực hiện như sau:

  • Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
  • Bước 2: Dựng hình chiếu A ‘của điểm A ∈ a xuống (Q)
  • Bước 3: Angle (widehat {AOA ‘} = varphi) là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A ‘của điểm A trên (Q) ta chọn đường thẳng b ⊥ (Q) thì AA’ // b.

Để tính góc ta sử dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông OAA ‘

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Tham Khảo: Sắm Bán Bắc Kinh thuần chủng, Đẹp Lai, Mini, Giá Rẻ Trên Toàn Quốc

Công thức: $ sinvarphi = sin left ({widehat {a, (Q)}} right) = left | {cos left ({overrightarrow n; overrightarrow u} right)} phải | = frac { left | {vec u.vec n} right |}} {{left | {vec u} phải | trái | {vec n} ngay |}} $

Trong đó:

  • $ {overrightarrow n} $ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • $ {overrightarrow u} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu VTPT của (Q): $ {overrightarrow n} $ = (A; B; C) và VTCP của a: $ {overrightarrow u} $ = (a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

[sinvarphi = frac{{left| {A.a + B.b + C.c} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)]

B. Bài tập có lời giải cụ thể

Bài tập 1. Cho dòng a: $ frac {{x + 1}} {{- 3}} = frac {{y + 5}} {1} = frac {{z – 1}} {2} $ và mặt phẳng (Q ): x – 2y + z + 4 = 0. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 3; 1; 2)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$ sinvarphi = frac {{left | {1.left ({- 3} right) + left ({- 2} right) .1 + 1.2} right |}} {{sqrt {{1 ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}} .sqrt {{{left ({- 3} right)} ^ 2} + {1 ^ 2} + {2 ^ 2}}}} = frac {{sqrt {21} }} {{14}} đô la Mỹ

Kết luận: φ ≈ 190.

Xem thêm: Ngứa mũi thường xuyên: Điềm báo may mắn hay bệnh tật?

Bài tập 2. Trong ko gian Oxyz có dòng d: $ left {{begin {array} {* {20} {l}} {x = 2 – t} {y = 1 – 2t} {z = – 3 + t} end {array}} right. $ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) là 300.

Hướng dẫn giải pháp

Theo chủ đề:

  • dòng a có vectơ hướng: $ {overrightarrow u} $ = (- 1; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; – 2)

Vận dụng công thức

:

$ sinvarphi = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- 1} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) 1} phải)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} = frac {1} {2} $

Kết luận: φ = 300.Bài tập 3

. Trong ko gian Oxyz, tồn tại đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình của đường thẳng d: $ left {begin {array} {l} x = 2 – mt y = 1 – 2t z = – 3 + t end {array} right. $ Và phương trình mặt phẳng (Q) : – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải pháp

  • Theo chủ đề:
  • dòng a có vectơ chỉ phương: $ {overrightarrow u} $ = (- m; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến: $ {overrightarrow n} $ = (- 1; 1; – 2)

$ widehat {a, (Q)} = {30 ^ 0} $ $ Rightarrow sin left ({widehat {a, (Q)}} right) $$ = sin left ({{{30} ^ 0}} right) = phân số {1} {2} $

Vận dụng công thức[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$[begin{array}{l}m=1m=–17end{array}right$

:

$ frac {1} {2} = frac {{left | {left ({- 1} right) .left ({- m} right) + 1.left ({- 2} right) + left ({- 2} right) .1} right |}} {{sqrt {{ {left ({- 1} right)} ^ 2} + {{left (1 right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2}} .sqrt {{{left ({- ) m} right)} ^ 2} + {{left ({- 2} right)} ^ 2} + {1 ^ 2}}}} $ $ Leftrightarrow frac {1} {2} = frac {{left | {m – 4} right |}} {{sqrt 6 .sqrt {{m ^ 2} + 5}}} Mũi tên phải sang trái[begin {array} {l} m = 1 m = – 17 end {array} right. $ Đọc thêm: cung Bảo Bình hợp với cung nào | Hỏi gì?

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_3_plain]

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_1_plain]

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_2_plain]

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_2_plain]

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_3_plain]

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

[rule_1_plain]

Nguồn: besttaichinh.com

#Công #Thức #Tính #Góc #Giữa #đường #Thẳng #Và #Mặt #Phẳng

Best Tài Chính
Best Tài Chínhhttp://besttaichinh.com
Là người sáng lập Website BestTaiChinh.Com - Với nhiều năm kinh nghiệm trong lĩnh vực tài chính ngân hàng, Bitcoin, chứng khoáng ... sẽ sử dụng các kiến thức được tổng hợp và đúc kết để cung cấp đến các bạn những thông tin chính xác, tư vấn hỗ trợ xử lý các dịch vụ tài chính, ngân hàng, bảo hiểm, đầu tư hiệu quả nhất!

Similar Articles

Comments

BÌNH LUẬN

Vui lòng nhập bình luận của bạn
Vui lòng nhập tên của bạn ở đây

Advertisment

Phổ biến nhất